考研数学线性代数攻坚指南：掌握核心公式，突破抽象题型解题瓶颈

2025-12-15 10:30:35

优路教育提醒：亲爱的考研学子，线性代数作为数学试卷的重要组成部分，常以抽象性强的特点成为考生失分重灾区。从行列式的性质到特征值的计算，从矩阵的秩到向量组的相关性，这些概念相互交织，构成一个紧密的逻辑网络。我们特别整理的这份公式手册，直击行列式化简、矩阵求逆、相似判定等高频考点，帮助你在纷繁复杂的公式中抓住主线，建立清晰的解题路径。考研关键时间节点的把控尤为重要。报名开启、考试安排、成绩查询等时间节点若出现遗漏，可能直接影响备考节奏。为帮大家及时掌握 2026 年考研全流程时间信息，建议点击文章上方的【立即预约】，填写相关信息后，即可收到报名、考试、查分时间的专属短信提醒，避免因时间疏忽错失关键节点。

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一、行列式与矩阵运算：夯实基础，提升计算准确率

（1）行列式性质：七条法则化解复杂计算

利用性质3（提公因子）、性质7（倍加不变性）可快速化简行列式；性质5（换行变号）与性质6（成比例为零）常用于抽象行列式证明题。

（2）逆矩阵求解：四类方法覆盖不同场景

定义法（AB=E）、公式法（A⁻¹=A*/|A|）、初等变换法（A|E→E|A⁻¹）及分块矩阵法，需根据题目条件灵活选择。

答题技巧：遇到|kA|或|AB|型问题，立即联想公式|kA|=kⁿ|A|、|AB|=|A||B|；涉及A*时优先计算|A|。

二、矩阵的秩与向量组：构建维度直觉，破解相关性判断

（1）秩的性质：不等式链串联推理逻辑

r(A+B)≤r(A)+r(B)、r(AB)≤min{r(A),r(B)}等不等式是证明秩关系的关键；r(A)=r(AᵀA)可处理含转置的秩问题。

（2）向量组相关性：秩与行列式的双重验证

具体向量组可通过化行阶梯形求秩判断；n个n维向量相关⇔行列式为零（推论2）。

适配方案：基础薄弱考生需重点训练初等变换求秩；目标高分考生应掌握r(A*)与r(A)的分段关系（公式9）的推导逻辑。

三、特征值与相似理论：打通代数与几何的桥梁

（1）特征值性质：迹与行列式的双线索

∑λᵢ=∑aᵢᵢ、Πλᵢ=|A|可快速验证特征值计算；k重特征值至多k个无关特征向量是判断可否对角化的核心依据。

（2）相似对角化：三个条件层层递进

有n个无关特征向量⇔可对角化；实对称矩阵必可对角化（充分条件）；r(A)=1时需验证∑aᵢᵢ≠0。

答题技巧：遇到A∼B问题，优先验证|λE-A|=|λE-B|；若涉及A+kE，利用相似保运算性质转化。

四、二次型与合同关系：把握正定与惯性指数本质

（1）正定判定：特征值、主子式、定义三选一

特征值全大于0、顺序主子式全正、任意xᵀAx>0三者等价；若主对角元非正可直接否定正定性。

（2）合同与相似：厘清适用场景

实对称矩阵合同⇔正负惯性指数相同；相似要求特征值全集一致且可对角化。

适配方案：二次型部分可结合几何意义理解正定；合同关系需通过配方法训练惯性指数判断。

因篇幅限制，点击查看：考研数学公式整理—线性代数部分

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优路教育考研培训专栏想说：线性代数的公式体系具有高度自洽性，建议采用“公式网络图”方式整合：以矩阵的秩为核心，串联起向量组、方程组、特征值的关系。冲刺阶段重点练习综合题，如通过相似求Aⁿ、利用正交变换化二次型等典型题型。优路教育愿助你将零散公式转化为解决抽象问题的利器，在考场上实现从“记忆”到“运用”的跨越。

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